Joc de coalicions

Les eleccions del 20D passat ens han deixat una situació nova a Espanya.

• No hi ha un partit amb majoria absoluta com va passar en quatre ocasions (el PSOE el 1982 i 1986 i el PP el 2000 i 2011).
• No hi ha un partit que pugui assolir la majoria absoluta pactant amb partits minoritaris com va passar la resta de les ocasions (la UCD el 1979, el PSOE el 1990, 1993, 2004 i 2008 i el PP el 1996).
• El guanyador i el segon tenen menys escons que a totes les eleccions passades.
• El tercer i el quart tenen més escons que a totes les eleccions passades.

No hi ha dubte que aquest escenari és interessant des del punt de vista polític, ja que els partits hauran de negociar tant per formar governs com per aprovar lleis. No obstant això, en aquest article analitzarem aquest escenari des del punt de vista matemàtic. La idea és fer servir la teoria de jocs i, en concret, jocs cooperatius, per entendre la negociació.

Un joc de coalicions és un joc força peculiar: per una banda, els jugadors han de competir entre ells com passa en tots els jocs, però, per altra banda, els jugadors han de cooperar entre ells per poder aconseguir la victòria. El més comú daquests jocs es denomina la gran coalició i consisteix a formar una coalició majoritària per assolir la victòria i distribuir el premi entre els jugadors. A què us sona?

Tornant al cas que ens ocupa:

A la primera votació el candidat a president ha d'obtenir majoria absoluta. En la situació actual hi ha poques opcions:

A la segona votació el candidat a president ha d'obtenir més vots a favor que vots en contra, per la qual cosa entren en joc les abstencions. En la situació actual hi ha força opcions:

Farem algunes hipòtesis:

• Els partits han de formar una coalició que aconsegueixi la investidura a la primera oa la segona votació i pugui formar un govern.
• La coalició que arribi el govern obtindrà 100 punts (que poden representar càrrecs o mesures) i els repartirà entre els partits que l'han format.
• El partit més votat de la coalició obtindrà la presidència del govern i, a canvi, repartirà els punts entre els altres partits de la coalició.
• Com que la política es guia per l'eix esquerra-dreta, descartarem les coalicions que suposin la participació dels partits més a la dreta (PP i DiL) i els partits més a l'esquerra (Podem, ERC, IU i Bildu). Ja podeu estar tranquils.

Veurem el cas de la primera votació:

• El PP pot cercar el suport del PSOE a canvi de certa influència. Quant li deu oferir? Hi ha diverses opcions: 1) Considerant que el PP té 123 escons i necessita 53 escons, el PP es podria quedar 70 punts i podria oferir al PSOE 30 punts. 2) Considerant que el PP té 123 escons i el PSOE té 90 escons, el PP es podria quedar 58 punts i podria oferir al PSOE 42 punts. Com veurem a la resta de coalicions, aquesta segona opció és més probable.
• El PSOE hauria d?acceptar alguna d?aquestes ofertes del PP? Si atenem els números és clar que no. El PSOE pot tenir més influència si lidera una coalició que no pas si se suma a la coalició del PP. Tornant al raonament anterior; si el PSOE (90 escons) forma una coalició amb Podem (69 escons) i altres partits (17 escons), podria intentar quedar-se amb 51 punts i oferir als seus socis 49 punts (39 a Podem i 10 als altres).
• Què pot fer el PP per arrabassar la iniciativa al PSOE? La política és un joc peculiar on hi ha factors ideològics i el PP no pot posar en joc la seva millor resposta: oferir a Podem més punts que el PSOE. Així que al PP (123 escons) li queda l?opció d?oferir una coalició a Ciutadans (40 escons) i altres partits (13 escons), quedant-se amb 70 punts i oferint 30 punts (23 a Ciutadans i 8 als altres).
• Quina d'aquestes coalicions s'enduria la victòria? No és fàcil decidir. D'una banda, el PSOE necessita el suport entre dos i quatre partits que sumin 17 escons (per exemple, ERC i DiL o ERC, PNB, IU i Bildu). D'altra banda, el PP necessita el suport de com a mínim dos partits que sumin 13 escons (per exemple, DiL i PNB). Al final són els partits petits els que decideixen si es forma la coalició PSOE-Podem o la coalició PP-Ciutadans, per la qual cosa poden exigir més punts dels que els corresponen pels seus escons.
• Això és tot? Encara queda una opció: el PSOE podria intentar la coalició més difícil amb Podem i Ciutadans. Per fer-ho, hauria de superar l'oferta del PP a Ciutadans. Seguint les proporcions, el PSOE s'hauria de quedar amb 45 punts i cedir 35 punts a Podem i 20 a Ciutadans. Tot i això, si vol convèncer Ciutadans com a mínim hauria de cedir-li 24 punts i, per tant, donar a Podem 31 punts o quedar-se amb 42 punts. En el primer cas, Podem podria protestar per la falta de proporcionalitat, encara que l'única coalició amb què sortiria guanyant també depèn del PSOE. En el segon cas, el PSOE hauria gastat 58 punts a convèncer Podem i Ciutadans i, sorpresa, es quedaria amb els mateixos punts que fa una estona li oferia el PP.

Aquest joc us ha semblat complicat? Doncs si tenim en compte la segona votació és força pitjor… Primer caldria trobar quant costa una abstenció en proporció a un sí. Després caldria determinar quina és la millor jugada possible per a cada partit. I finalment caldria veure quina és la coalició guanyadora. I el més graciós és que aquesta coalició podria no formar-se o, fins i tot, formar-se i després trencar-se.