Juego de coaliciones

Las elecciones del pasado 20D nos han dejado una situación novedosa en España.

• No hay un partido con mayoría absoluta como ocurrió en cuatro ocasiones (el PSOE en 1982 y 1986 y el PP en 2000 y 2011).
• No hay un partido que pueda alcanzar la mayoría absoluta pactando con partidos minoritarios como ocurrió en el resto de las ocasiones (la UCD en 1979, el PSOE en 1990, 1993, 2004 y 2008 y el PP en 1996).
• El ganador y el segundo tienen menos escaños que en todas las elecciones pasadas.
• El tercero y el cuarto tienen más escaños que en todas las elecciones pasadas.

No hay duda de que este escenario es interesante desde el punto de vista político, ya que los partidos tendrán que negociar tanto para formar gobierno como para aprobar leyes. Sin embargo, en este artículo vamos a analizar este escenario desde el punto de vista matemático. La idea es usar la teoría de juegos y, en concreto, juegos cooperativos, para entender la negociación.

Un juego de coaliciones es un juego bastante peculiar: por un lado, los jugadores deben competir entre ellos como ocurre en todos los juegos, pero, por otro lado, los jugadores deben cooperar entre ellos para poder hacerse con la victoria. El más común de estos juegos se denomina la gran coalición y consiste en formar una coalición mayoritaria para alcanzar la victoria y distribuir el premio entre los jugadores. ¿A que os suena?

Volviendo al caso que nos ocupa:

En la primera votación el candidato a presidente tiene que obtener mayoría absoluta. En la situación actual hay pocas opciones:

En la segunda votación el candidato a presidente tiene que obtener más votos a favor que votos en contra, por lo que entran en juego las abstenciones. En la situación actual hay bastantes opciones:

Vamos a hacer algunas hipótesis:

• Los partidos tienen que formar una coalición que consiga la investidura en la primera o la segunda votación y pueda formar un gobierno.
• La coalición que alcance el gobierno obtendrá 100 puntos (que pueden representar cargos o medidas) y los repartirá entre los partidos que la han formado.
• El partido más votado de la coalición obtendrá la presidencia del gobierno y, a cambio, repartirá los puntos entre los otros partidos de la coalición.
• Como la política se guía por el eje izquierda-derecha, vamos a descartar las coaliciones que supongan la participación de los partidos más a la derecha (PP y DiL) y los partidos más a la izquierda (Podemos, ERC, IU y Bildu). Ya podéis estar tranquilos.

Vamos a ver el caso de la primera votación:

• El PP puede buscar el apoyo del PSOE a cambio de cierta influencia. ¿Cuánto le debe ofrecer? Hay varias opciones: 1) Considerando que el PP tiene 123 escaños y necesita 53 escaños, el PP podría quedarse 70 puntos y podría ofrecer al PSOE 30 puntos. 2) Considerando que el PP tiene 123 escaños y el PSOE tiene 90 escaños, el PP podría quedarse 58 puntos y podría ofrecer al PSOE 42 puntos. Como veremos en el resto de coaliciones, esta segunda opción es más probable.
• ¿El PSOE debería aceptar alguna de estas ofertas del PP? Si atendemos a los números está claro que no. El PSOE puede tener más influencia si lidera una coalición que si se suma a la coalición del PP. Volviendo al razonamiento anterior; si el PSOE (90 escaños) forma una coalición con Podemos (69 escaños) y otros partidos (17 escaños), podría tratar de quedarse con 51 puntos y ofrecer a sus socios 49 puntos (39 a Podemos y 10 a los demás).
• ¿Qué puede hacer el PP para arrebatar la iniciativa al PSOE? La política es un juego peculiar donde existen factores ideológicos y el PP no puede poner en juego su mejor respuesta: ofrecer a Podemos más puntos que el PSOE. Así que al PP (123 escaños) le queda la opción de ofrecer una coalición a Ciudadanos (40 escaños) y otros partidos (13 escaños), quedándose con 70 puntos y ofreciendo 30 puntos (23 a Ciudadanos y 8 a los demás).
• ¿Cuál de estas coaliciones se llevaría la victoria? No es fácil de decidir. Por un lado, el PSOE necesita el apoyo de entre dos y cuatro partidos que sumen 17 escaños (por ejemplo, ERC y DiL o ERC, PNV, IU y Bildu). Por otro lado, el PP necesita el apoyo de como mínimo dos partidos que sumen 13 escaños (por ejemplo, DiL y PNV). Al final son los partidos pequeños los que deciden si se forma la coalición PSOE-Podemos o la coalición PP-Ciudadanos, por lo que pueden exigir más puntos de los que les corresponden por sus escaños.
• ¿Esto es todo? Aún queda una opción: el PSOE podría intentar la coalición más difícil con Podemos y Ciudadanos. Para ello, tendría que superar la oferta del PP a Ciudadanos. Siguiendo las proporciones, el PSOE debería quedarse con 45 puntos y ceder 35 puntos a Podemos y 20 a Ciudadanos. Sin embargo, si quiere convencer a Ciudadanos como mínimo tendría que cederle 24 puntos y, por tanto, dar a Podemos 31 puntos o quedarse con 42 puntos. En el primer caso, Podemos podría protestar por la falta de proporcionalidad, aunque la única coalición con la que saldría ganando también depende del PSOE. En el segundo caso, el PSOE habría gastado 58 puntos en convencer a Podemos y Ciudadanos y, sorpresa, se quedaría con los mismos puntos que hace un rato le ofrecía el PP.

¿Este juego os ha parecido complicado? Pues si tenemos en cuenta la segunda votación es bastante peor… Primero habría que hallar cuánto cuesta una abstención en proporción a un sí. Luego habría que determinar cuál es la mejor jugada posible para cada partido. Y por último habría que ver cuál es la coalición ganadora. Y lo más gracioso es que esta coalición podría no formarse o, incluso, formarse y luego romperse.